如何進(jìn)行序列模式公差分析

公差分析是面向制造和裝配的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。本文簡單地介紹了公差分析的基本流程，目的是為了讓初學(xué)者對(duì)公差分析有一定的了解。

本文案例

設(shè)計(jì)一款批量生產(chǎn)的激光擴(kuò)束器。

光源為：氬離子激光，1/e2時(shí)光束寬度為：2.5mm。目標(biāo)：光束出射時(shí)1/e2的光束寬度擴(kuò)大為原來的3倍，波前差必須小于兩倍的光束全寬不超過1/20 RMS（即：整個(gè)光束直接控制在5mm以內(nèi)）。

初始結(jié)構(gòu)及OPD Fan 圖

初始結(jié)構(gòu)中Ran Fan圖坐標(biāo)軸的最大刻度為0.01 波長， 因此PTV光程差（peak-to-valley OPD）少于1/200。RMS波前差為（可通過建立默認(rèn)波前評(píng)價(jià)函數(shù)得到）2.15*10-3 波長。本例的孔徑類型（system aperture）設(shè)置為高斯切趾（Gaussian apodization），入瞳直徑為5mm，切趾系數(shù)為2。因此光瞳邊緣的強(qiáng)度相對(duì)于峰值大約為1/e4=1.8%。

這就體現(xiàn)出正確設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)的重要性了。5 mm 1/e2直徑的激光照射的系統(tǒng)的結(jié)果（RMS OPD：~2.10-3）與均勻光照射的結(jié)果（RMS OPD ：3.10-3）肯定是不同的。因?yàn)楫?dāng)光源為高斯光時(shí)，球差在光瞳邊緣的效應(yīng)相比于均勻光入射小很多。

接下來，我們來考慮制造誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。

制造公差

公差分析目的是考慮制造誤差對(duì)系統(tǒng)的影響，因此設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮實(shí)際的制造情況。為了能夠更好地分析公差，模擬出符合實(shí)際的情況，首先我們應(yīng)該了解系統(tǒng)所用鏡片在批量生產(chǎn)時(shí)的制造流程和測(cè)試方法。

Zemax OpticStudio 能夠模擬出各種各樣的制造和測(cè)試方式。本文范例中，我們假設(shè)系統(tǒng)透鏡是使用傳統(tǒng)的手動(dòng)拋光制造。

制造公差可以在公差編輯器（Tolerance > Tolerance Data Editor）中設(shè)定。公差向?qū)В═olerance > Tolerance Wizard）可以幫助使用者加入一組常用的預(yù)設(shè)公差，必要時(shí)可手動(dòng)編輯修訂。公差向?qū)У脑O(shè)定如圖

圖中“Surface Tolerance”中主要包含透鏡的表面誤差，例如半徑（Radius）、表面不規(guī)則度（Irregularity）等等。

“Element Tolerance”則包含了透鏡在系統(tǒng)中的位移和傾斜公差。由所給的預(yù)設(shè)公差分析設(shè)定，可以看出：

曲率半徑：傳統(tǒng)的公差測(cè)試方法是利用He-Ne激光器照射到double-pass系統(tǒng)中觀察其干涉條紋。本例中，我們使用條紋數(shù)來評(píng)估半徑，并且允許待測(cè)表面和原器件之間有一個(gè)條紋的公差。因?yàn)楣庠礊镠e-Ne激光，因此我們將波長設(shè)定為0.6328。注意這并不是系統(tǒng)實(shí)際工作時(shí)的波長而是測(cè)試時(shí)所用的波長（實(shí)際工作為氬離子激光波長為0.5415微米）。

中心厚度：預(yù)設(shè)的公差為0.2mm，這里我們?nèi)孕杩紤]透鏡的安裝誤差，下文會(huì)詳細(xì)討論這一部分。

表面偏移以及傾斜：對(duì)于非球面表面來說離心以及傾斜是兩個(gè)不同的概念，例如拋物面鏡必須分別描述離心和傾斜公差，因?yàn)閽佄锩嬷挥幸粋€(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。但是對(duì)于球面來說它有無限個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，因此離心和傾斜代表同一概念。在鏡頭制造時(shí)，一種常見的測(cè)量就是測(cè)量鏡片的楔形公差（Wedge）。楔形公差有兩種測(cè)量方法：將透鏡真空吸附固定（1）將激光照射到鏡片中心，旋轉(zhuǎn)透鏡觀察遠(yuǎn)方屏幕上光點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；（2）旋轉(zhuǎn)透鏡使用針盤量規(guī)（Dial Gauge）測(cè)量邊緣厚度的變化。接著微調(diào)透鏡位置，盡量縮小上述測(cè)試中楔形值。

本例中，我們假設(shè)制造商使用邊緣厚度變化作為測(cè)試方法。我們?cè)赬、Y兩個(gè)方向輸入0.2mm的最大傾斜，因此最大的半徑傾斜為sqrt(0.22+0.22)=0.28mm。

表面不規(guī)則度：可以定義為球差和像散的總和，也可以使用Zernike系數(shù)來定義（這主要是測(cè)量儀器為干涉儀時(shí)才這么定義）。本例中，我們使用第一種方法，并且設(shè)定表面不規(guī)則度為1/5。

元件公差：主要測(cè)量系統(tǒng)的“機(jī)械軸”對(duì)元件的偏差程度。

折射率公差：描述了實(shí)際的折射率與目標(biāo)設(shè)定值之間的差異。在本文范例中只用到了一個(gè)波長，所以我們不需要提供阿貝數(shù)（Abbe Number）公差，只需要簡單地分析折射率公差就可以了。Zemax OpticStudio也能夠建立后焦距的補(bǔ)償器。因?yàn)楸纠邢到y(tǒng)是無焦的，所以不需要這個(gè)補(bǔ)償要將補(bǔ)償器的選項(xiàng)取消。

最后點(diǎn)擊 OK 則完成一組默認(rèn)公差的建立。

機(jī)械組裝和補(bǔ)償器

本例中，系統(tǒng)是由兩個(gè)平凸透鏡構(gòu)成，因此我們可以假設(shè)透鏡表面中平的那一面用來組裝對(duì)位，也就是這一表面會(huì)靠在組裝結(jié)構(gòu)上，同時(shí)，假設(shè)兩透鏡之間的距離200mm可以在組裝以及使用時(shí)調(diào)整，這樣該激光擴(kuò)束器就可以用在不同的波長上。

觀察表面2和表面3構(gòu)成的透鏡，表面3是平面，也就是表面3會(huì)靠在機(jī)械結(jié)構(gòu)上，所以可以使用TIRX和TIRY來定義表面2相對(duì)于表面3的楔形公差。同時(shí)，我們不需要指定表面3的TIRX和TIRY，這些可以刪除掉。

類似地，對(duì)于表面4和表面5構(gòu)成的透鏡，表面4靠在機(jī)械結(jié)構(gòu)上。因此表面5的楔形公差是相對(duì)于表面4的，所以應(yīng)該刪除表面4的TIRX和TIRY。

“厚度”定義了兩元件之間Z方向的位移量，設(shè)置一個(gè)表面的厚度公差不僅僅會(huì)影響到所設(shè)置的表面，也會(huì)影響到系統(tǒng)的其他表面。我們需要了解組裝過程是如何影響厚度公差的。

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)透鏡的背面承靠在機(jī)械結(jié)構(gòu)上，公差分析增加厚度意味著透鏡會(huì)“往回增長”，并且光學(xué)系統(tǒng)的長度會(huì)增加。

TTHI（厚度公差）允許我們指定一個(gè)“調(diào)節(jié)面”來修正厚度變化。例如，如果透鏡的前表面被承靠在機(jī)械結(jié)構(gòu)上，并且它的厚度在公差分析時(shí)額外增加了，這時(shí)透鏡將會(huì)往200mm的空氣間隔方向上稍微突出一點(diǎn)，因此實(shí)際的空氣間隔會(huì)小于200mm。Zemax OpticStudio 可以通過“Adjust” 參數(shù)實(shí)現(xiàn)這一功能。

默認(rèn)公差是假設(shè)所有的透鏡厚度都會(huì)被下一個(gè)空氣界面所吸收，即系統(tǒng)假設(shè)這個(gè)透鏡的承靠面都是前表面。這個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)是可開可閉的，如果要關(guān)閉它只要把“Adjust” 參數(shù)和“Surf”設(shè)置一樣既可，例如：TTHI 2 2。本文范例中，玻璃的厚度并不會(huì)被其他厚度所補(bǔ)償，因此我們需要取消這一范例中的補(bǔ)償設(shè)定。

此外，表面1和表面5的厚度其實(shí)不重要，他們只是表示光線的進(jìn)出而已，因此對(duì)應(yīng)的公差操作數(shù)也可以刪除。

因?yàn)楸砻?的厚度（兩透鏡之間的200mm空氣間隔）可以在組裝和實(shí)際使用中調(diào)節(jié)，所以不應(yīng)該設(shè)定為公差分析中的一部分，表面3的TTHI設(shè)定也應(yīng)該刪除。同時(shí)，表面3的厚度將會(huì)被設(shè)定為補(bǔ)償器，用來調(diào)節(jié)波前差的最小化，設(shè)置方法是在Tolerance Data Editor中輸入：COMP 3 0 -0.2 +0.2，代表定義了一個(gè)厚度補(bǔ)償器，范圍是-0.2~+0.2mm。

測(cè)試公差分析設(shè)定

在公差分析的過程中，人們往往會(huì)忽略檢查公差分析設(shè)定的正確性。這很重要，因此我們建立一些Monte-Carlo分析，并了解系統(tǒng)做了些什么事情。

打開“Tolerance > Tolerancing”，先擊"Reset"恢復(fù)所有的預(yù)設(shè)設(shè)定，然后再按照下面步驟進(jìn)行設(shè)定

這些設(shè)定表示Zemax OpticStudio只會(huì)建立Monte-Carlo分析檔案，文件名為“MC_Txxxx”，其中xxxx是數(shù)字。點(diǎn)擊OK執(zhí)行上面步驟，并打開其中一個(gè)文件，你會(huì)看到如下設(shè)定（實(shí)際數(shù)字可能會(huì)有所不同）。注意在執(zhí)行公差分析時(shí)會(huì)有如下警告信息： “Solves should be removed prior to tolerancing. Semi-diameter should be fixed”, 在本例中可以不予考慮。

從上圖中，可以看到Zemax OpticStudio的分析過程。

例如“Element Tolerances” （TE**操作數(shù)）被設(shè)置為一些Coordinate Break，從而使元件傾斜或者離心。原本設(shè)定中是Standard的表面現(xiàn)在被設(shè)置為了Irregular的表面形態(tài)，因此可以考慮球差或者像散。同樣，透鏡參數(shù)例如厚度、半徑、玻璃材料等現(xiàn)在都不是原始值，而是加入了一些擾動(dòng)來模擬公差。注意：兩個(gè)透鏡之間的厚度被設(shè)定為變量，并且評(píng)價(jià)函數(shù)被定義如下圖

請(qǐng)仔細(xì)查看Monte Carlo文檔，以確保你了解并認(rèn)可Zemax OpticStudio為公差分析所作的改變。

執(zhí)行公差分析

重新打開公差分析前的初始結(jié)構(gòu)，打開OPD圖，將坐標(biāo)軸刻度最大值調(diào)節(jié)到0.1波長。

我們一會(huì)用這個(gè)圖和Monte-Carlo結(jié)果比較。接著，再次打開公差分析設(shè)定窗口，點(diǎn)擊“Reset” ，取消之前的改變并恢復(fù)預(yù)設(shè)值。然后按照如下步驟進(jìn)行公差分析。

對(duì)圖中各選項(xiàng)解釋如下：

Set-Up選項(xiàng)卡

對(duì)于 “Mode” 中各項(xiàng)的解說如下：

Sensitivity模式會(huì)讀取每一個(gè)公差操作數(shù)的最大和最小值，并計(jì)算評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)值會(huì)有多大的改變，最后列表整理。公差分析評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的定義在 “Criterion”區(qū)域中設(shè)定。

下一章“Criterion區(qū)域”會(huì)詳細(xì)介紹。

Inverse Limit 模式下，使用者可以在 “Criterion”區(qū)域中指定一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)極限。然后系統(tǒng)會(huì)計(jì)算每一個(gè)公差操作數(shù)偏離多少時(shí)會(huì)得到這個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的極限值。Inverse表示逆向，它會(huì)改變公差操作數(shù)的最大最小值。

Inverse Increment 模式與Inverse Limit接近，不同的是Inverse Increment指定的是相對(duì)于原始設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)所允許的變化量。

Skip Sensitivity 模式將會(huì)略過所有的敏感度分析，直接開始Monte Carlo分析。

我們將不會(huì)討論這個(gè)設(shè)定框中其他的設(shè)定，請(qǐng)?jiān)贖elp文件中查找具體的設(shè)定細(xì)節(jié)。

本例中選擇“Sensitivity”模式。

Criterion選項(xiàng)卡

這個(gè)選項(xiàng)卡主要是設(shè)定在公差分析過程中要應(yīng)用的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。這邊的設(shè)定通常與評(píng)價(jià)函數(shù)有關(guān)，但不完全是評(píng)價(jià)函數(shù)。

公差分析的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)通常是純光學(xué)的數(shù)值（優(yōu)化函數(shù)則還會(huì)包含一些邊界條件）。為了方便，Zemax OpticStudio提供了一些最常用的公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，使用者可以直接在下拉菜單中選擇，這些選項(xiàng)包含：

● 點(diǎn)列半徑 Spot radius

● 波前差 Wavefront error

● MTF

● 瞄準(zhǔn)誤差 Boresight error

● 角空間半徑 Angular radius

不論選擇哪一個(gè)，他們?cè)诤笈_(tái)都通過評(píng)價(jià)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，如果有需要也可以建立自己的評(píng)價(jià)函數(shù)，設(shè)定自己的公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

Monte-Carlo 選項(xiàng)卡

不像Sensitivity或者Inverse sensitivity分析，Monte-Carlo分析會(huì)讓所有的擾動(dòng)同時(shí)生效。Monte-Carlo的每進(jìn)行一次循環(huán)計(jì)算，所有被設(shè)定為公差的參數(shù)都會(huì)在設(shè)定范圍內(nèi)根據(jù)指定的統(tǒng)計(jì)模型隨機(jī)選取。默認(rèn)中，所有的公差操作數(shù)都使用一樣的正態(tài)分布，其寬度為4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，兩端分別為公差操作數(shù)的最大和最小值。默認(rèn)分布模型可以使用STAT指令改變，這部分超出了這篇文章的討論范圍。

對(duì)話框中有"Overlay MC Graphics"選項(xiàng)，如果勾選則系統(tǒng)每次Monte Carlo會(huì)自動(dòng)更新繪圖窗口，并把計(jì)算結(jié)果疊加上去。這是一個(gè)很好的視覺化功能，可以協(xié)助判斷公差分析能否達(dá)到令人滿意的結(jié)果。

Display選項(xiàng)卡

在Display選項(xiàng)卡中的設(shè)定并不會(huì)影響公差分析，只是定義公差分析的報(bào)告中的數(shù)據(jù)量。

到此設(shè)定結(jié)束，點(diǎn)擊OK，執(zhí)行公差分析。

公差分析結(jié)果

因?yàn)槲覀冎霸O(shè)定了重疊Monte-Carlo分析圖，并且在軟件中我們打開了OPD圖，因此可以看到OPD圖中看到20個(gè)Monte-Carlo循環(huán)計(jì)算的結(jié)果：看起來距離我們的目標(biāo)0.05的RMS波長還很遠(yuǎn)。

在靈敏度分析（Sensitivity Analysis）的過程中，Zemax OpticStudio首先計(jì)算原始設(shè)計(jì)系統(tǒng) （nominal system）的公差標(biāo)準(zhǔn)，讀取第一個(gè)公差操作數(shù)，將其調(diào)整到最小值，調(diào)整補(bǔ)償器（優(yōu)化），返回公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)值。然后再重復(fù)操作，但這次是將公差操作數(shù)調(diào)整到最大值。最后所有公差都會(huì)執(zhí)行這一步驟。執(zhí)行結(jié)果如下：

注意原始設(shè)計(jì)（nominal）的公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為0.0022即1/400。我們要求在批量生產(chǎn)時(shí)有1/20或者0.05波長，而系統(tǒng)中一部分公差本身就超過了這一標(biāo)準(zhǔn)，例如增加了補(bǔ)償之后，單單第二片透鏡的折射率公差就使得波前差降到了0.058 波長。在所有公差單獨(dú)計(jì)算后，Zemax OpticStudio 會(huì)計(jì)算各種不同的統(tǒng)計(jì)資料。其中最重要的就是 "Estimated Change" 以及 “Estimated Performance” （本文中為Estimated RMS Wavefront）。Zemax OpticStudio使用RSS（Root Sum Square）的計(jì)算方法計(jì)算Estimated Change。對(duì)于每一個(gè)公差操作數(shù)，相對(duì)于原始設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)變量的計(jì)算方法是最大與最小公差的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的改變各自平方后再取平均值。最大與最小取平均是因?yàn)樗鼈儾粫?huì)同時(shí)發(fā)生，如果相加會(huì)導(dǎo)致過分悲觀的預(yù)測(cè)。至此，我們計(jì)算出了一個(gè)最終成品值的預(yù)測(cè)。

對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，由下圖可以看出，RSS計(jì)算預(yù)測(cè)了系統(tǒng)的表現(xiàn)應(yīng)該是0.0597波長，我們目標(biāo)為0.05。Monte-Carlo的預(yù)測(cè)也大致相符。雖然只有20個(gè)測(cè)試范本，結(jié)果相對(duì)比較粗糙。從下表可以看出，RMS波前差低于0.05的鏡頭的良品率略少于80%。

很明顯，如果需要提高良品率，需要再收緊公差。我們可以手動(dòng)調(diào)節(jié)公差編輯器，然后再執(zhí)行一次公差分析，我們也可以利用反靈敏度分析 （Inverse Sensitivity Tolerancing）自動(dòng)完成。

反靈敏度分析

在靈敏度分析模式（Sensitivity mode）中，Zemax OpticStudio讀取公差操作數(shù)，并計(jì)算系統(tǒng)性能降低程度。在反靈敏度分析模式 （Inverse Sensitivity mode）中，Zemax OpticStudio則是被給予一個(gè)允許的性能降低范圍，并且系統(tǒng)必須找到一個(gè)可以達(dá)到這個(gè)性能目標(biāo)的公差的最大最小值。分析步驟如下：

在Set-Up中設(shè)定Inverse Sensitivity

在Criterion中，注意看“Limit”欄可以輸入?yún)?shù)了，點(diǎn)擊check，獲得原始設(shè)計(jì)（nominal system）的公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

然后輸入我們的目標(biāo)值，我們假設(shè)為0.0075，因此每一個(gè)單獨(dú)的公差操作數(shù)都不能讓評(píng)價(jià)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)低于1/130。

其他維持原本設(shè)定，并重新執(zhí)行公差分析。

可以看到Root Sum Square和Monte-Carlo中的結(jié)果變得非常漂亮：

但是，其實(shí)20個(gè)Monte-Carlo循環(huán)其實(shí)是不夠的。粗略的來說如果有N個(gè)公差操作數(shù)，至少需要N2 個(gè)Monte-Carlo循環(huán)才符合適當(dāng)?shù)娜臃治?。本例中我們?4個(gè)公差操作數(shù)，至少要242=576個(gè)Monte-Carlo循環(huán)，我們?cè)O(shè)定1000 Monte-Carlo取樣得到如下結(jié)果：

重新打開公差編輯器，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)修改了一些最大最小值，以符合逆向敏感度分析，這些改變都在制造可以要求的范圍內(nèi)。

注意：執(zhí)行1000 Monte-Carlo分析，作者的8核電腦中只用了26秒就可以完成。Zemax OpticStudio并沒有使用任何一階或者其他近似方法來猜測(cè)擾動(dòng)對(duì)波前的公差分析的效果。每一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)都在完整精度的透鏡波前差計(jì)算中完成的。

總結(jié)

公差分析是一個(gè)復(fù)雜的流程，這篇文章介紹了公差分析的整個(gè)流程，內(nèi)容包括：

（1） 優(yōu)化你的設(shè)計(jì)直到超越目標(biāo)規(guī)格，且要超過一定適當(dāng)?shù)牧俊?/p>

（2） 建立一組默認(rèn)公差操作數(shù)。Zemax OpticStudio提供超過一種方法來模擬同一種公差，你必須選擇最能代表實(shí)際制造，測(cè)試以及組裝時(shí)使用的方法。

（3） 編輯公差操作數(shù)以考慮不同的組裝方式，并加入可能的補(bǔ)償器。

（4） 定義公差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，此標(biāo)準(zhǔn)須符合實(shí)際工廠的測(cè)試方式。

（5） 建立一些Monte-Carlo文件并確認(rèn)公差操作數(shù)有依照你預(yù)想的方式工作。

（6） 執(zhí)行靈敏度分析。

（7） 手動(dòng)緊縮一些棘手的公差，或者使用逆向敏感度分析Inverse Sensitivity，讓Zemax OpticStudio自動(dòng)計(jì)算。

（8） 一旦確定你的公差都沒有問題之后，設(shè)定執(zhí)行N2個(gè)Monte-Carlo分析，其中N為公差操作數(shù)的數(shù)量。

（9） 檢查反靈敏度分析產(chǎn)生的公差操作數(shù)參數(shù)值，確保他們?cè)诤侠淼姆秶鷥?nèi)。

請(qǐng)記住，并不是所有設(shè)計(jì)的公差分析結(jié)果都可以符合成本利益，很可能為了達(dá)到你的設(shè)計(jì)目標(biāo)，你需要分析許多不同的設(shè)計(jì)。

小伙伴們還有什么想要了解的問題，歡迎踴躍留言，小編之后會(huì)根據(jù)大家的需求進(jìn)行推送噠！